Exercícios sobre fatoração da soma ou diferença de dois cubos

Veja uma lista de exercícios resolvidos sobre fatoração da soma ou diferença de dois cubos. Confira para aprender mais!

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Na fatoração da soma ou diferença de dois cubos, o procedimento é simples, basta extrair a raiz cúbica de cada um dos termos e depois substituir as bases conforme as expressões a seguir:

\mathrm{a^3 + b^3 = (a+b).(a^2 -ab+b^2)}

\mathrm{a^3 - b^3 = (a-b).(a^2 +ab+b^2)}

Quer aprender mais sobre essa fatoração?

Confira uma lista resolvida que preparamos com exercícios sobre a fatoração da soma ou diferença de dois cubos.

Lista de exercícios sobre fatoração da soma ou diferença de dois cubos


Exercício 1. Escreva a forma fatorada dos polinômios:

a) \mathrm{x^3 + 27}

b) \mathrm{8 - y^3}


Exercício 2. Escreva o polinômio \mathrm{x^3 - y^3} como um produto de dois polinômios.


Exercício 3. Fatore os seguintes polinômios:

a) \mathrm{8a^3 + 1}

b) \mathrm{125a^3 - 1}


Exercício 4. Fatore \mathrm{x^{15} + 64y^3}.


Exercício 5. Fatore  512 - 27m^9.


Gabarito

Respostas do exercício 1

a) \mathrm{x^3 + 27}

Vamos extrair a raiz cúbica de cada um dos termos:

\mathrm{\sqrt[3]{\mathrm{x}^3} = x} e \mathrm{\sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^3}= 3}

Substituindo na fórmula, temos que:

\mathrm{x^3 + 27 =}

=\mathrm{(x + 3).[(x)^2-(x).(3)+(3)^2]}=

=\mathrm{(x + 3).[x^2-3x+9]}

b) \mathrm{8 - y^3}

Raízes cúbicas: \mathrm{\sqrt[3]{8} =\sqrt[3]{2^3}= 2}   e  \mathrm{\sqrt[3]{\mathrm{y}^3} = y}.

Então:\mathrm{8 - y^3}=

=\mathrm{(2 - y).[(2)^2+(2).(y)+(y)^2]}=

=\mathrm{(2 - y).[4+2y+y^2]}

Respostas do exercício 2

\mathrm{x^3 - y^3}

Raízes cúbicas: \mathrm{\sqrt[3]{\mathrm{x}^3} = x}  e  \mathrm{\sqrt[3]{\mathrm{y}^3} = y}.

Então:

\mathrm{x^3 - y^3}=

=\mathrm{(x - y).[(x)^2+(x).(y)+(y)^2]}=

=\mathrm{(x - y).[x^2+xy+y^2]}

Respostas do exercício 3

a) \mathrm{8a^3 + 1}

Raízes cúbicas: \mathrm{\sqrt[3]{8\mathrm{a}^3} =\sqrt[3]{(2\mathrm{a})^3}= 2a}  e  \mathrm{\sqrt[3]{1} = \sqrt[3]{1^3} =1}.

Então:

\mathrm{8a^3 + 1}=

=\mathrm{(2a + 1).[(2a)^2-(2a).(1)+(1)^2]}=

=\mathrm{(2a + 1).[4a^2-2a+1]}

b) \mathrm{125a^3 - 1}

Raízes cúbicas: \mathrm{\sqrt[3]{125\mathrm{a}^3} =\sqrt[3]{(5\mathrm{a})^3}= 5a}  e \mathrm{\sqrt[3]{1} = 1}.

Então:

\mathrm{125a^3 - 1}=

=\mathrm{(5a - 1).[(5a)^2+(5a).(1)+(1)^2]}=

=\mathrm{(5a - 1).[25a^2+5a+1]}

Respostas do exercício 4

\mathrm{x^{15} + 64y^3}

Raízes cúbicas: \mathrm{\sqrt[3]{\mathrm{x}^{15}} =\sqrt[3]{(\mathrm{x}^{5})^3}= x^5}  e  \mathrm{\sqrt[3]{64\mathrm{y}^3} =\sqrt[3]{(4\mathrm{y})^3}= 4y}.

Então:

\mathrm{x^{15} + 64y^3}=

=\mathrm{(x^5 + 4y).[(x^5)^2-(x^5).(4y)+(4y)^2]}=

=\mathrm{(x^5 + 4y).[x^{10}-4x^5y+16y^2]}

Respostas do exercício 5

512 - 27m^9

Raízes cúbicas:  \mathrm{\sqrt[3]{512} = \sqrt[3]{2^9} =\sqrt[3]{(2^3)^3} = 2^3 = 8}   e \mathrm{\sqrt[3]{27\mathrm{m}^{9}} =\sqrt[3]{(\mathrm{3m}^{3})^3}= 3m^3}

Então:

512 - 27m^9 =

=\mathrm{(8 - 3m^3).[(8)^2+(8).(3m^3)+(3m^3)^2]}=

=\mathrm{(8 - 3m^3).[64+24m^3+9m^6]}

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