Exercícios sobre fatoração da soma ou diferença de dois cubos

Veja uma lista de exercícios resolvidos sobre fatoração da soma ou diferença de dois cubos. Confira para aprender mais!

Na fatoração da soma ou diferença de dois cubos, o procedimento é simples, basta extrair a raiz cúbica de cada um dos termos e depois substituir as bases conforme as expressões a seguir:

$\mathrm{a^3 + b^3 = (a+b).(a^2 -ab+b^2)}$

$\mathrm{a^3 - b^3 = (a-b).(a^2 +ab+b^2)}$

Quer aprender mais sobre essa fatoração?

Confira uma lista resolvida que preparamos com exercícios sobre a fatoração da soma ou diferença de dois cubos.

Lista de exercícios sobre fatoração da soma ou diferença de dois cubos

Exercício 1. Escreva a forma fatorada dos polinômios:

a) $\mathrm{x^3 + 27}$

b) $\mathrm{8 - y^3}$

Exercício 2. Escreva o polinômio $\mathrm{x^3 - y^3}$ como um produto de dois polinômios.

Exercício 3. Fatore os seguintes polinômios:

a) $\mathrm{8a^3 + 1}$

b) $\mathrm{125a^3 - 1}$

Exercício 4. Fatore $\mathrm{x^{15} + 64y^3}$ .

Exercício 5. Fatore .

Gabarito

Respostas do exercício 1

a) $\mathrm{x^3 + 27}$

Vamos extrair a raiz cúbica de cada um dos termos:

$\mathrm{\sqrt[3]{\mathrm{x}^3} = x}$ e $\mathrm{\sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^3}= 3}$

Substituindo na fórmula, temos que:

$\mathrm{x^3 + 27 =}$

$=\mathrm{(x + 3).[(x)^2-(x).(3)+(3)^2]}=$

$=\mathrm{(x + 3).[x^2-3x+9]}$

b) $\mathrm{8 - y^3}$

Raízes cúbicas: $\mathrm{\sqrt[3]{8} =\sqrt[3]{2^3}= 2}$ e $\mathrm{\sqrt[3]{\mathrm{y}^3} = y}$ .

Então: $\mathrm{8 - y^3}=$

$=\mathrm{(2 - y).[(2)^2+(2).(y)+(y)^2]}=$

$=\mathrm{(2 - y).[4+2y+y^2]}$

Respostas do exercício 2

$\mathrm{x^3 - y^3}$

Raízes cúbicas: $\mathrm{\sqrt[3]{\mathrm{x}^3} = x}$ e $\mathrm{\sqrt[3]{\mathrm{y}^3} = y}$ .

Então:

$\mathrm{x^3 - y^3}=$

$=\mathrm{(x - y).[(x)^2+(x).(y)+(y)^2]}=$

$=\mathrm{(x - y).[x^2+xy+y^2]}$

Respostas do exercício 3

a) $\mathrm{8a^3 + 1}$

Raízes cúbicas: $\mathrm{\sqrt[3]{8\mathrm{a}^3} =\sqrt[3]{(2\mathrm{a})^3}= 2a}$ e $\mathrm{\sqrt[3]{1} = \sqrt[3]{1^3} =1}$ .

Então:

$\mathrm{8a^3 + 1}=$

$=\mathrm{(2a + 1).[(2a)^2-(2a).(1)+(1)^2]}=$

$=\mathrm{(2a + 1).[4a^2-2a+1]}$

b) $\mathrm{125a^3 - 1}$

Raízes cúbicas: $\mathrm{\sqrt[3]{125\mathrm{a}^3} =\sqrt[3]{(5\mathrm{a})^3}= 5a}$ e $\mathrm{\sqrt[3]{1} = 1}$ .

Então:

$\mathrm{125a^3 - 1}=$

$=\mathrm{(5a - 1).[(5a)^2+(5a).(1)+(1)^2]}=$

$=\mathrm{(5a - 1).[25a^2+5a+1]}$

Respostas do exercício 4

$\mathrm{x^{15} + 64y^3}$

Raízes cúbicas: $\mathrm{\sqrt[3]{\mathrm{x}^{15}} =\sqrt[3]{(\mathrm{x}^{5})^3}= x^5}$ e $\mathrm{\sqrt[3]{64\mathrm{y}^3} =\sqrt[3]{(4\mathrm{y})^3}= 4y}$ .

Então:

$\mathrm{x^{15} + 64y^3}=$

$=\mathrm{(x^5 + 4y).[(x^5)^2-(x^5).(4y)+(4y)^2]}=$

$=\mathrm{(x^5 + 4y).[x^{10}-4x^5y+16y^2]}$

Respostas do exercício 5

Raízes cúbicas: $\mathrm{\sqrt[3]{512} = \sqrt[3]{2^9} =\sqrt[3]{(2^3)^3} = 2^3 = 8}$ e $\mathrm{\sqrt[3]{27\mathrm{m}^{9}} =\sqrt[3]{(\mathrm{3m}^{3})^3}= 3m^3}$