Atividades de Matemática

Exercícios sobre fatoração do trinômio quadrado perfeito

Veja uma lista de exercícios resolvidos, passo a passo, sobre fatoração do trinômio quadrado perfeito que preparamos!

Por Elainy Marciano

Os trinômios são polinômios formados por três termos. Quando eles representam o quadrado da soma ou da diferença de dois termos, eles são chamados de trinômios quadrados perfeitos, são eles:

$\mathrm{a^2 +2ab + b^2 = (a + b)^2}$

e

$\mathrm{a^2 -2ab + b^2 = (a - b)^2}$

Para aprender mais sobre esse assunto, confira uma lista resolvida, passo a passo, com exercícios sobre fatoração do trinômio quadrado perfeito.

Lista de exercícios sobre fatoração do trinômio quadrado perfeito

Exercício 1. Verifique se os trinômios abaixo são trinômios quadrados perfeitos:

a) $\mathrm{x^2 -10x +25}$

b) $\mathrm{x^2 + 8x + 4}$

Exercício 2. Escreva a forma fatorada de cada um dos trinômios quadrados perfeitos:

a) $\mathrm{4a^2 - 12ab + 9b^2}$

b) $\mathrm{16xy + 16x^2 + 4y^2}$

c) $\mathrm{100 - 20ab + a^2b^2}$

Exercício 3. Qual a forma fatorada do trinômio $\mathrm{x^{12} - 4x^6y^3 + 4y^6}$ ?

Exercício 4. Que termo deve ser adicionado ao trinômio $\mathrm{25x^2 + 15x +4}$ para obter $\mathrm{(5x + 2)^2}$ ?

Exercício 5. Fatore o trinômio $\mathrm{4x^2 - 12x + 9}$ para resolver a seguinte equação:

$\mathrm{4x^2 - 12x + 9 = 0}$

Gabarito

Respostas do exercício 1

a) $\mathrm{x^2 -10x +25}$

Primeiro, extraímos as raízes dos quadrados x² e 25:

$\mathrm{\sqrt{x^2} = x}$ e $\sqrt{25}= 5$

Em seguida, verificamos se a partir dessas bases obtemos o segundo termo:

2 . x . 5 = 10x

Portanto, $\mathrm{x^2 -10x +25 = (x - 5)^2}$ , é um trinômio quadrado perfeito.

b) $\mathrm{x^2 + 8x + 4}$

$\mathrm{\sqrt{x^2} = x}$ e $\sqrt{4}= 2$

2 . x . 2 = 4x → não corresponde ao segundo termo do trinômio.

Portanto, $\mathrm{x^2 + 8x + 4}$ não é um trinômio quadrado perfeito.

Respostas do exercício 2

a) $\mathrm{4a^2 - 12ab + 9b^2}$

Como já sabemos que é um trinômio quadrado perfeito, só precisamos obter as bases extraindo a raiz dos quadrados 4a² e 9b².

$\mathrm{\sqrt{4a^2} = 2a}$ e $\mathrm{\sqrt{9b^2} = 3b}$

Portanto, $\mathrm{4a^2 - 12ab + 9b^2 = (2a - 3b)^2}$ .

b) $\mathrm{16xy + 16x^2 + 4y^2 = 16x^2 + 16xy +4y^2}$

As bases são:

$\mathrm{\sqrt{16x^2} = 4x}$ e $\mathrm{\sqrt{4y^2} = 2y}$

Logo, $\mathrm{16x^2 + 16xy +4y^2 = (4x +2y)^2}$ .

c) $\mathrm{100 - 20ab + a^2b^2}$

As bases são:

$\sqrt{100} = 10$ e $\mathrm{\sqrt{a^2b^2} = ab}$

Então, $\mathrm{100 - 20ab + a^2b^2 = (10 - ab)^2}$ .

Respostas do exercício 3

Vamos verificar se $\mathrm{x^{12} - 4x^6y^3 + 4y^6}$ é um trinômio quadrado perfeito:

$\mathrm{\sqrt{x^{12} }=\sqrt{(x^6)^2}= x^6}$ e $\mathrm{\sqrt{4y^6} = \sqrt{(2y^3)^2} = 2y^3}$

$\mathrm{2 \cdot x^6\cdot 2y^3 = 4x^6y^3}$

Portanto, é um trinômio quadrado perfeito e a forma fatorada é:

$\mathrm{x^{12} - 4x^6y^3 + 4y^6 = (x^6 - 2y^3)^2}$

Respostas do exercício 4

Temos que:

$\mathrm{(5x + 2)^2 = 25x^2 +20x + 4}$

Logo, deve ser adicionado o termo 5x em $\mathrm{25x^2 + 15x +4}$ .

Respostas do exercício 5

Vamos verificar se o trinômio $\mathrm{4x^2 - 12x + 9}$ é um trinômio quadrado perfeito:

$\mathrm{\sqrt{4x^2} = 2x}$ e $\sqrt{9} = 3$

2 . 2x . 3 = 12x

Portanto, é um trinômio quadrado perfeito, $\mathrm{4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2}$ .

Dessa forma, podemos reescrever a equação:

$\mathrm{4x^2 - 12x + 9 = 0}$

$\Rightarrow \mathrm{(2x - 3)^2 = 0}$

$\Rightarrow \mathrm{(2x - 3) = 0}$

$\Rightarrow \mathrm{2x = 3}$

$\Rightarrow \mathrm{x = \frac{3}{2}}$

Para baixar essa lista em PDF, clique aqui!

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