Exercícios sobre fatoração do trinômio quadrado perfeito

Veja uma lista de exercícios resolvidos, passo a passo, sobre fatoração do trinômio quadrado perfeito que preparamos!

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Os trinômios são polinômios formados por três termos. Quando eles representam o quadrado da soma ou da diferença de dois termos, eles são chamados de trinômios quadrados perfeitos, são eles:

\mathrm{a^2 +2ab + b^2 = (a + b)^2}

e

\mathrm{a^2 -2ab + b^2 = (a - b)^2}

Para aprender mais sobre esse assunto, confira uma lista resolvida, passo a passo, com exercícios sobre fatoração do trinômio quadrado perfeito.

Lista de exercícios sobre fatoração do trinômio quadrado perfeito


Exercício 1. Verifique se os trinômios abaixo são trinômios quadrados perfeitos:

a) \mathrm{x^2 -10x +25}

b) \mathrm{x^2 + 8x + 4}


Exercício 2. Escreva a forma fatorada de cada um dos trinômios quadrados perfeitos:

a) \mathrm{4a^2 - 12ab + 9b^2}

b) \mathrm{16xy + 16x^2 + 4y^2}

c) \mathrm{100 - 20ab + a^2b^2}


Exercício 3. Qual a forma fatorada do trinômio \mathrm{x^{12} - 4x^6y^3 + 4y^6} ?


Exercício 4. Que termo deve ser adicionado ao trinômio \mathrm{25x^2 + 15x +4} para obter \mathrm{(5x + 2)^2} ?


Exercício 5. Fatore o trinômio \mathrm{4x^2 - 12x + 9} para resolver a seguinte equação:

\mathrm{4x^2 - 12x + 9 = 0}


Gabarito

Respostas do exercício 1

a) \mathrm{x^2 -10x +25}

Primeiro, extraímos as raízes dos quadrados x² e 25:

\mathrm{\sqrt{x^2} = x}  e  \sqrt{25}= 5

Em seguida, verificamos se a partir dessas bases obtemos o segundo termo:

2 . x . 5 = 10x

Portanto,  \mathrm{x^2 -10x +25 = (x - 5)^2},  é um trinômio quadrado perfeito.

b) \mathrm{x^2 + 8x + 4}

\mathrm{\sqrt{x^2} = x}  e \sqrt{4}= 2

2 . x . 2 = 4x  → não corresponde ao segundo termo do trinômio.

Portanto, \mathrm{x^2 + 8x + 4} não é um trinômio quadrado perfeito.

Respostas do exercício 2

a) \mathrm{4a^2 - 12ab + 9b^2}

Como já sabemos que é um trinômio quadrado perfeito, só precisamos obter as bases extraindo a raiz dos quadrados 4a² e 9b².

\mathrm{\sqrt{4a^2} = 2a}  e  \mathrm{\sqrt{9b^2} = 3b}

Portanto, \mathrm{4a^2 - 12ab + 9b^2 = (2a - 3b)^2}.

b) \mathrm{16xy + 16x^2 + 4y^2 = 16x^2 + 16xy +4y^2}

As bases são:

\mathrm{\sqrt{16x^2} = 4x}  e \mathrm{\sqrt{4y^2} = 2y}

Logo, \mathrm{16x^2 + 16xy +4y^2 = (4x +2y)^2}.

c) \mathrm{100 - 20ab + a^2b^2}

As bases são:

\sqrt{100} = 10  e  \mathrm{\sqrt{a^2b^2} = ab}

Então, \mathrm{100 - 20ab + a^2b^2 = (10 - ab)^2}.

Respostas do exercício 3

Vamos verificar se \mathrm{x^{12} - 4x^6y^3 + 4y^6} é um trinômio quadrado perfeito:

\mathrm{\sqrt{x^{12} }=\sqrt{(x^6)^2}= x^6}   e  \mathrm{\sqrt{4y^6} = \sqrt{(2y^3)^2} = 2y^3}

\mathrm{2 \cdot x^6\cdot 2y^3 = 4x^6y^3}

Portanto, é um trinômio quadrado perfeito e a forma fatorada é:

\mathrm{x^{12} - 4x^6y^3 + 4y^6 = (x^6 - 2y^3)^2}

Respostas do exercício 4

Temos que:

\mathrm{(5x + 2)^2 = 25x^2 +20x + 4}

Logo, deve ser adicionado o termo 5x em \mathrm{25x^2 + 15x +4}.

Respostas do exercício 5

Vamos verificar se o trinômio \mathrm{4x^2 - 12x + 9} é um trinômio quadrado perfeito:

\mathrm{\sqrt{4x^2} = 2x}  e  \sqrt{9} = 3

2 . 2x . 3 = 12x

Portanto, é um trinômio quadrado perfeito, \mathrm{4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2}.

Dessa forma, podemos reescrever a equação:

\mathrm{4x^2 - 12x + 9 = 0}

\Rightarrow \mathrm{(2x - 3)^2 = 0}

\Rightarrow \mathrm{(2x - 3) = 0}

\Rightarrow \mathrm{2x = 3}

\Rightarrow \mathrm{x = \frac{3}{2}}

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