Exercícios sobre número de diagonais de um polígono

Preparamos uma lista de exercícios resolvidos sobre o número de diagonais de um polígono. Confira para aprender mais!

As diagonais de um polígono são qualquer segmento de reta que liga dois vértices não consecutivos, ou seja, são segmentos que passam pelo meio da figura.

Quanto maior o número de lados de um polígono, mais diagonais ele tem, e determinar o número de diagonais contando na própria figura, pode não ser uma tarefa fácil.

Contudo, existe uma fórmula para calcular o número de digonais (d) de um polígono. A fórmula é simples e só depende do número de lados (n) do polígono:

$\mathrm{d = \frac{n\cdot (n-3)}{2}}$

Quer aprender mais sobre esse assunto?

Confira uma lista que preparamos com exercícios sobre o número de diagonais de um polígono. No final da postagem, você poderá conferir as respostas de todos os exercícios!

Lista de exercícios sobre número de diagonais de um polígono

Exercício 1. Quantas diagonais possui um eneágono?

Exercício 2. Se a é o número de diagonais de um pentadecágono e b é o número de diagonais de um dodecágono, qual o valor da expressão 3a – 2b?

Exercício 3. Um polígono tem 104 centímetros de perímetro e cada lado mede 13 cm. Calcule o número de diagonais desse polígono.

Exercício 4. Mostre, algebricamente, que o polígono cujo número de diagonais é igual ao número de lados é o pentágono.

Exercício 5. Qual o nome do polígono com número de diagonais três vezes maior que o número de lados?

Gabarito

Respostas do exercício 1

Um eneágono é um polígono de 9 lados, por tanto, n = 9.

Aplicando na fórmula do número de diagonais de um polígono, temos que:

$\mathrm{d = \frac{n\cdot (n-3)}{2}}$

$\Rightarrow \mathrm{d = \frac{9\cdot (9-3)}{2}}$

$\Rightarrow \mathrm{d = \frac{9\cdot 6}{2}}$

$\Rightarrow \mathrm{d = 27}$ Então, um eneágono possui 27 diagonais.

Respostas do exercício 2

Um pentadecágono é um polígono de 15 lados, n= 15. Vamos calcular o número de diagonais:

$\mathrm{d = \frac{n\cdot (n-3)}{2}}$

$\Rightarrow \mathrm{d = \frac{15\cdot (15-3)}{2}}$

$\Rightarrow \mathrm{d = \frac{15\cdot 12}{2}}$

$\Rightarrow \mathrm{d =90}$

Como a é o número de diagonais desse polígono, então, a = 90.

Um dodecágono é um polígono de 12 lados, n= 12. Vamos calcular o número de diagonais:

$\Rightarrow \mathrm{d = \frac{12\cdot (12-3)}{2}}$

$\Rightarrow \mathrm{d = \frac{12\cdot 9}{2}}$

$\Rightarrow \mathrm{d = 54}$

Portanto, b = 54.

Agora, vamos calcular o valor da expressão 3a – 2b:

3a – 2b = 3 . 90 – 2 . 54 = 270 – 108 = 162

Respostas do exercício 3

Para calcular o número de diagonais, precisamos saber o número de lados.

O perímetro corresponde a soma das medidas de todos os lados de um polígono.

Assim, para saber o número de lados, basta dividir o perímetro pela medida de cada lado:

104 : 13 = 8

Portanto, o polígono tem 8 lados, é um octógono, n = 8.

$\Rightarrow \mathrm{d = \frac{8\cdot (8-3)}{2}}$

$\Rightarrow \mathrm{d = \frac{8\cdot 5}{2}}$

$\Rightarrow \mathrm{d = 20 }$

Respostas do exercício 4

Se em um polígono, o número de diagonais é igual ao número de lados, então, n = d.

Vamos substituir d por n na fórmula e calcular o valor de n. Se mostrarmos que n = 5, então, teremos mostrado que o pentágono é o polígono cujo número de lados é igual ao número de diagonais.

$\mathrm{n = \frac{n\cdot (n-3)}{2}}$

Multiplicando cruzado, temos que:

2n = n . (n – 3)

⇒ 2n = n² – 3n

⇒ 2n – n² + 3n = 0

⇒ 5n – n² = 0

⇒ n(5 – n) = 0

Isso significa que n = 0 ou (5 – n) = 0.

Um polígono precisa ter no mínimo 3 lados, então, n não pode ser igual a 0. Prosseguimos com a segunda igualdade:

(5 – n) = 0 ⇒ – n = – 5 ⇒ n = 5

Portanto, o polígono cujo número de diagonais é igual ao número de lados é o pentágono.

Respostas do exercício 5

Para saber o nome de um polígono, precisamos saber o número de lados.

Se o número de diagonais é 3 vezes maior que o número de lados, então, d = 3n.

Vamos substituir d por 3n na fórmula e calcular o valor de n.

$\mathrm{3n = \frac{n\cdot (n-3)}{2}}$

Multiplicando cruzado, temos que:

6n = n . (n – 3)

⇒ 6n = n² – 3n

⇒ 6n – n² + 3n = 0

⇒ 9n – n² = 0

⇒ n. (9 – n) = 0

Isso significa n = 0 ou (9 – n) = 0. Novamente, como não podemos ter n = 0, seguimos com a segunda igualdade:

(9 – n) = 0 ⇒ – n = – 9 ⇒ n = 9

O nome do polígono de 9 lados é eneágono.

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