Exercícios sobre produtos notáveis

Saiba mais sobre os produtos notáveis a partir de uma lista de exercícios resolvidos que preparamos sobre esse assunto!

Por Elainy Marciano

Os produtos notáveis são produtos que aparecem com frequência em cálculos algébricos. Quando esses produtos são desenvolvidos, obtemos relações importantes que auxiliam, por exemplo, na simplificação de polinômios.

Os principais produtos notáveis são: quadrado da soma ou diferença de dois termos, produto da soma pela diferença de dois termos e cubo da soma ou da diferença entre dois termos.

Para saber mais sobre esse assunto tão importante, veja uma lista de exercícios sobre produtos notáveis!

Lista de exercícios sobre produtos notáveis

Exercício 1. As expressões abaixo representam o quadrado da soma ou da diferença de dois termos. Escreva um polinômio correspondente a cada uma delas.

a) $\dpi{100} \large (2x + 5)^2$

b) $\dpi{100} \large (8a - b)^2$

c) $\dpi{100} \large (x + 3y)^2$

d) $\dpi{100} \large (x^2 - 4y)^2$

e) $\dpi{100} \large (a^4 + 5b^2)^2$

Exercício 2. Escreva o polinômio que obtemos quando efetuamos os seguintes produtos:

a) $\dpi{100} \large (x-3a)\cdot (x + 3a)$

b) $\dpi{100} \large (5x + 1)\cdot (5x - 1)$

c) $\dpi{100} \large (ax-b)\cdot (ax + b)$

d) $\dpi{100} \large (0,5 - xyz)\cdot (0,5 + xyz)$

e) $\dpi{100} \large (a^3b+ 10c)\cdot (a^3b - 10c)$

Exercício 3. Desenvolva cada um dos cubos da soma ou da diferença de dois termos:

a) $\dpi{100} \large (x + y)^3$

b) $\dpi{100} \large (z-w)^3$

c) $\dpi{100} \large (3x - 1)^3$

d) $\dpi{100} \large (5 - 2a)^3$

e) $\dpi{100} \large (x^2 + y)^3$

Exercício 4. Classifique as igualdades abaixo em verdadeiras ou falsas e corrija as falsas.

a) $\dpi{100} \large (x - 2y)^2 = x^2 - 4xy + 4y^2$

b) $\dpi{100} \large (5a - b)\cdot (5a + b) =5a^2 - b^2$

c) $\dpi{100} \large (2y - 2)^3 = 2y^3 - 12y^2 + 24y -8$

d) $\dpi{100} \large (x^3 + y^4)\cdot (x^3 - y^4) = x^6 - y^8$

Exercício 5. Utilizando produtos notáveis, escreva o seguinte polinômio na forma mais simples possível:

$\dpi{100} \large (2x+ y)^2 - 6xy - (x-y)^2$

Gabarito

Respostas do exercício 1

De acordo com as regras de produtos notáveis, temos que o quadrado da soma de dois termos é dado por:

$\dpi{100} \large (a+b)^2 = a^2 + 2\cdot a\cdot b + b^2$ e o quadrado da diferença de dois termos é dado por:

$\dpi{100} \large (a-b)^2 = a^2 - 2\cdot a\cdot b + b^2$

Os itens a seguir são resolvidos considerando uma dessas duas relações.

a) $\dpi{100} \large (2x + 5)^2 = 4x^2 + 20x + 25$

b) $\dpi{100} \large (8a - b)^2 = 64a^2 - 16ab + b^2$

c) $\dpi{100} \large (x + 3y)^2 = x^2 +6xy +9y^2$

d) $\dpi{100} \large (x^2 - 4y)^2 = x^4 - 8x^2y+16y^2$

e) $\dpi{100} \large (a^4 + 5b^2)^2 = a^8 + 10a^4b^2 + 25b^4$

Respostas do exercício 2

Os itens a seguir, são resolvidos utilizando o produto da soma pela diferença:

$\dpi{100} \large (a+b)\cdot (a-b) = a^2 - b^2$

a) $\dpi{100} \large (x-3a)\cdot (x + 3a) = x^2 - 9a^2$

b) $\dpi{100} \large (5x + 1)\cdot (5x - 1) = 25x^2 - 1$

c) $\dpi{100} \large (ax-b)\cdot (ax + b) = a^2x^2 - b^2$

d) $\dpi{100} \large (0,5 - xyz)\cdot (0,5 + xyz) = 0,25 - x^2y^2z^2$

e) $\dpi{100} \large (a^3b+ 10c)\cdot (a^3b - 10c) = a^6b^2 - 100c^2$

Respostas do exercício 3

O cubo da soma é dado por:

$\dpi{100} \large (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

e o cubo da diferença por:

$\dpi{100} \large (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Os itens a seguir, são resolvidos considerando esses dois produtos notáveis.

a) $\dpi{100} \large (x + y)^3 = x^3 +3x^2y + 3xy^2 +y^3$

b) $\dpi{100} \large (z-w)^3 = z^3 -3z^2w + 3zw^2 +w^3$

c) $\dpi{100} \large (3x - 1)^3 = 27x^3 -27x^2 + 9x +1$

d) $\dpi{100} \large (5 - 2a)^3 = 125 -150a + 60a^2 +8a^3$

e) $\dpi{100} \large (x^2 + y)^3 = x^6 +3x^4y + 3x^2y^2 +y^3$

Respostas do exercício 4

a) $\dpi{100} \large (x - 2y)^2 = x^2 - 4xy + 4y^2$ Verdadeira

b) $\dpi{100} \large (5a - b)\cdot (5a + b) =5a^2 - b^2$ Falsa

Correção: $\dpi{100} \large (5a - b)\cdot (5a + b) =25a^2 - b^2$

c) $\dpi{100} \large (2y - 2)^3 = 2y^3 - 12y^2 + 24y -8$ Falsa

Correção: $\dpi{100} \large (2y - 2)^3 = (2y)^3 - 3.(2y)^2 .2 \, + \, 3.2y .2^2 + 2^3 = 8y^3 - 24y^2 + 24y + 8$

d) $\dpi{100} \large (x^3 + y^4)\cdot (x^3 - y^4) = x^6 - y^8$ Verdadeira

Respostas do exercício 5

Como $\dpi{100} \large (2x + y)^2 = 4x^2 +4xy +y^2$ e $\dpi{100} \large (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ , então:

$\dpi{100} \large (2x+ y)^2 - 6xy - (x-y)^2 =$

$\dpi{100} \large = 4x^2 + 4xy + y^2 -6xy - (x^2 - 2xy + y^2) =$

$\dpi{100} \large = 4x^2 + \cancel{4xy} + \cancel{y^2} -\cancel{6xy} - x^2 + \cancel{2xy} - \cancel{y^2} =$

$\dpi{100} \large = 3x^2$

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