Fórmula de Bhaskara

Entenda o que é a fórmula de Bhaskara e como utilizá-la para resolver equações do 2º grau.

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A fórmula de Bhaskara é uma fórmula matemática utilizada para encontrar a solução de equações do 2º grau.

São exemplos de equações do 2º grau:

\dpi{120} \mathrm{3x^2 + x - 2 = 0}

\dpi{120} \mathrm{-x^2 + 4x - 4 = 0}

\dpi{120} \mathrm{\frac{1}{2}x^2 + 2x + 5 = 0}

Encontrar a solução de cada uma dessas equações, significa encontrar os valores de x para os quais a igualdade é verdadeira.

Compreendendo a equação do 2º grau

Uma equação do 2º grau é qualquer equação que apresenta a seguinte forma:

\dpi{120} \mathrm{ax^2 + bx+ c = 0}

Em que a, b e c são números reais, com o número a devendo ser sempre diferente de zero.

Os valores de x que são solução da equação são chamados de raízes e qualquer equação do 2º grau tem no máximo duas raízes.

Podemos saber exatamente quantas raízes tem uma equação do 2º grau calculando o discriminante, também conhecido como delta:

\dpi{120} \boldsymbol{\Delta = \mathrm{b^2 - 4\cdot a\cdot c}}

O valor de delta pode ser positivo, negativo ou até igual a zero e o número de raízes (ou soluções) depende desse número:

  • Se \dpi{120} \Delta >0, a equação tem duas raízes reais;
  • Se \dpi{120} \Delta =0, a equação tem uma raiz real;
  • Se \dpi{120} \Delta <0, a equação não tem raízes reais.

Assim, antes de aplicar a fórmula de Bhaskara, a primeira coisa que podemos fazer é verificar quantas soluções a equação possui.

Fórmula de Bhaskara

A fórmula de Bhaskara é uma fórmula que envolve os valores de a, b e c da equação do 2º grau.

\dpi{120} \boldsymbol{\mathrm{x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta }}{2\cdot a}}}

Já vimos que \dpi{120} \boldsymbol{\Delta = \mathrm{b^2 - 4\cdot a\cdot c}}.

Então, o valor de delta, além de ser utilizado para verificar o número de raízes da equação, também é utilizado dentro da própria fórmula de Bhaskara.

Exemplo: encontrar a solução da equação  \dpi{120} \mathrm{3x^2 + x - 2 = 0}.

Nessa equação, temos a = 3, b = 1 e c = -2.  Assim: \dpi{120} \Delta = \mathrm{b^2 - 4\cdot a\cdot c}

\dpi{120} \Delta = \mathrm{1^2 - 4\cdot 3\cdot (-2)}

\dpi{120} \Delta = \mathrm{1+ 24}

\dpi{120} \Delta = \mathrm{25}

Como delta é um valor positivo, então, existem duas raízes diferentes para essa equação. Vamos aplicar a fórmula de Bhaskara para encontrá-las.

\dpi{120} \mathrm{x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta }}{2\cdot a}}

\dpi{120} \mathrm{x = \frac{-1 \pm \sqrt{25 }}{2\cdot 3}}

\dpi{120} \mathrm{x = \frac{-1 \pm 5}{6}}

O sinal \dpi{120} \pm (lê -se mais ou menos) na fórmula, indica que devemos calcular uma vez considerando o sinal de mais e uma outra vez considerando o sinal de menos.

Considerando o sinal de mais, encontramos a primeira raiz:

\dpi{120} \mathrm{x_1 = \frac{-1 + 5}{6}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} = 0,66

Considerando o sinal de menos encontramos a segunda raiz:

\dpi{120} \mathrm{x_2 = \frac{-1 - 5}{6}} = -\frac{6}{6} = -1

Portanto, as duas raízes da equação são 0,66 e -1.

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