Sistema de equações do 1º grau

Entenda o que é um sistema de equações do 1º grau, como resolver e quais são as classificações possíveis. Veja exemplos!

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Um sistema de equações é um conjunto de duas ou mais equações relacionadas, que devem ser resolvidas simultaneamente.

Assim, os valores das incógnitas devem satisfazer todas as equações e não apenas uma ou outra.

Quando as equações que formam o sistema são equações do 1º grau, então, o sistema é chamado de sistema de equações do 1º grau.

Exemplo: Em sala de aula, há x alunas e y alunos. Sabe-se que o número total de alunos é igual a 32 e que o número de alunas menos o número de alunos é igual a 6. Determine o número de alunas e o número de alunos dessa turma.

Pelas informações do problema, temos duas equações x + y = 32 e x – y = 6.

Veja que nas duas equações x é o número de alunas e  y é o número de alunos.

Assim, essas duas equações devem ser resolvidas conjuntamente. O sistema de equações do 1º grau formado por essas duas equações é:

\dpi{120} \left\{\begin{matrix} \boldsymbol{\mathrm{x + y = 32}}\\ \boldsymbol{\mathrm{x - y = 6}} \end{matrix}\right.

Como resolver um sistema de equações do 1º grau

Para resolver um sistema de equações do 1º grau, podemos utilizar o método da substituição.

Nesse método, devemos isolar uma das incógnitas em uma das equações. Depois, na outra equação, substituímos a incógnita pela expressão encontrada anteriormente. Por fim, encontramos os valores das incógnitas.

Para compreender melhor, vamos resolver o sistema de equações do exemplo dos alunos.

\dpi{120} \left\{\begin{matrix} \boldsymbol{\mathrm{x + y = 32}}\\ \boldsymbol{\mathrm{x - y = 6}} \end{matrix}\right.

1º passo) Escolhemos qualquer uma das equações e qualquer uma das incógnitas para isolar.

Escolhemos a primeira equação:

\dpi{120} \boldsymbol{\mathrm{x + y = 32}}

E vamos isolar x:

\dpi{120} \boldsymbol{\mathrm{x = 32 - y}}

2º passo) Na outra equação, substituímos a incógnita pela expressão encontrada.

Onde aparecer x na segunda equação, vamos escrever  32 – y

\dpi{120} \boldsymbol{\mathrm{x - y = 6}}

\dpi{120} \boldsymbol{\mathrm{(32-y) - y = 6}}

3º passo) Resolvemos a equação para encontrar o valor de uma das incógnitas.

\dpi{120} \boldsymbol{\mathrm{(32-y) - y = 6}}

\dpi{120} \boldsymbol{\mathrm{-y - y = 6 - 32}}

\dpi{120} \boldsymbol{\mathrm{-2y = -26}}

\dpi{120} \boldsymbol{\mathrm{y = 13}}

4º passo) Utilizamos a incógnita encontrada para encontrar o valor da outra.

Vamos encontrar x, sabendo que x = 32 – y e que y = 13.

\dpi{120} \boldsymbol{\mathrm{x = 32 - y}}

\dpi{120} \boldsymbol{\mathrm{x = 32 - 13}}

\dpi{120} \boldsymbol{\mathrm{x = 19}}

Portanto, o número de alunas na sala é igual a 19 e o número de alunos é 13. Observe que esses valores satisfazem as duas equações:

19 + 13 = 32

19 – 13 = 6

Além do método da substituição, pode ser usado o método da adição.

Classificação do sistema de equações do 1º grau

Um sistema de equações pode ser classificado em três diferentes tipos: possível determinando, possível indeterminado e indeterminado.

  • Sistema possível determinado: quando o sistema possui uma única solução.
  • Sistema possível indeterminado: quando o sistema possui infinitas soluções.
  • Sistema impossível: quando não existe nenhuma solução.

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